撰文 BRIAN GALLAGHER

翻譯 徐付琪

審校 楊晨 張士超

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1957年，普林斯頓大學(xué)博士生 Raymond Smullyan 在一位理論計(jì)算機(jī)科學(xué)創(chuàng)始人的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)。他偶爾會(huì)去紐約玩。一次，他在那里遇到了一位“非常迷人的女音樂(lè)家”，情場(chǎng)圣手 Smullyan 在他們第一次約會(huì)的步調(diào)上，可謂非?！斑壿嫛?，撩人于無(wú)形。

他說(shuō)道：“ 我們來(lái)做個(gè)游戲吧。我先說(shuō)一句話，如果那句話是真的，可以把你的簽名給我嗎？”

女音樂(lè)家饒有興致地回答：“當(dāng)然?！?/p>

“不過(guò)如果我說(shuō)的不是真的，那就不要給我簽名了?！?/p>

“好的…”

緊接著，他說(shuō)：“ 你既不會(huì)給我簽名也不會(huì)給我一個(gè)吻。”

稍微想一下兒吧，不過(guò)你最后肯定能明白 Smullyan 的機(jī)智之處。

按照協(xié)議，如果這句話的是對(duì)的，女音樂(lè)家就要給 Smullyan 簽名；但這句話成立本身意味著“她不會(huì)給他簽名”。而如果這句話若是錯(cuò)的，那么她就要給他簽名或是吻。這就是她面臨的困境：如果這句話不成立，她就不能給簽名。這樣，Smullyan 巧妙地運(yùn)用邏輯學(xué)，以一句錯(cuò)誤的話贏得了一個(gè)吻。（ 更贏得了美好的愛(ài)情：二人后來(lái)步入了婚姻殿堂。）

Raymond Smullyan 圖片來(lái)源：mesosyn.com

Smullyan 喜歡這類邏輯游戲，人們也因?yàn)檫@類邏輯游戲而喜歡他。在休閑數(shù)學(xué)和邏輯方面，他的書(shū)《 這本書(shū)的書(shū)名是什么》（What Is the Name of This Book?)和《 嘲弄一只嘲鶇》（To Mock a Mockingbird）不僅激勵(lì)了人們投身邏輯學(xué)研究，同時(shí)也改變了數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的教學(xué)方式。在他近百年的人生中，96歲高齡的 Smullyan 不僅為現(xiàn)代邏輯學(xué)奠定了基礎(chǔ)，還是一名出色的鋼琴家和魔術(shù)師，甚至還寫(xiě)了一些關(guān)于道教和象棋的文章?！拔阌怪靡?，他是邏輯謎題的大師?！彼牟┦可?Bruce Horowitz 這樣評(píng)論道。

史上最難邏輯題

至今，哲學(xué)家和邏輯學(xué)家們?nèi)灾杂?Smullyan 留下的一項(xiàng)寶貴財(cái)富——“世界上最難的邏輯謎題”。這一謎題由麻省理工學(xué)院的邏輯哲學(xué)家 George Boolos 命名。Smullyan的這位同事也是個(gè)中好手，熱愛(ài)一切邏輯學(xué)難題。他曾經(jīng)自我設(shè)限，只用單音節(jié)詞做了一場(chǎng)哥德?tīng)柕诙煌陚涠ɡ淼闹v座，而這條定理，是“現(xiàn)代邏輯學(xué)最重要的成果之一”。

史上最難邏輯謎題是這么說(shuō)的：

有真、偽、任性三位神，真之神只講真話，偽之神只講假話，任性之神的話或真或假，完全隨機(jī)。你要做的是，只通過(guò)三個(gè)是非問(wèn)題來(lái)確定三者身份，每個(gè)問(wèn)題只能問(wèn)其中一位神。他們能聽(tīng)懂你講話，但只會(huì)用自己的語(yǔ)言回答，“是”和“否”分別是“噠”和“呀”中的一個(gè)，但你不知道對(duì)應(yīng)關(guān)系。

看到這道題時(shí)，樂(lè)于接受挑戰(zhàn)的我拿起紙筆，扎進(jìn)沙發(fā)，心想這要不了兩個(gè)小時(shí)就能解這道題。似乎只要一次性提出三個(gè)問(wèn)題，尋找問(wèn)題對(duì)應(yīng)的答案就好。例如，我向甲詢問(wèn)乙是不是真，向乙詢問(wèn)甲是不是真，然后再問(wèn)丙自己是不是真。但是幾個(gè)小時(shí)過(guò)去了，我?guī)缀踉嚤榱俗约耗芟氲降乃袉?wèn)題，都沒(méi)能成功，我開(kāi)始理解為什么這道題會(huì)被稱作“世上最難”了。很顯然，我的問(wèn)題不足以讓這三位神告訴我他們的身份。

十分沮喪的我開(kāi)始上網(wǎng)尋求指導(dǎo)，我發(fā)現(xiàn)攀上這一邏輯謎題高峰的大師是 Boolos，他在1996年解決了這一問(wèn)題。這一問(wèn)題求解的過(guò)程是我看過(guò)的最好的邏輯學(xué)課程之一。如果你想自己嘗試解決這個(gè)問(wèn)題，不妨先不要下拉屏幕。如果你成功的話，我將表示祝賀，如果很不幸沒(méi)有成功，你可以接著這篇文章，看 Boolos 是怎樣解決這一問(wèn)題的。（譯者注：如果只想降低難度，可以一點(diǎn)一點(diǎn)往下看。）

額滴神吶：在最難邏輯謎題中，你得判斷真、偽、任性三位大神的真實(shí)身份。

Boolos 的解法中首先聲明的一點(diǎn)是：不要像我上面那樣，先腦子里想好，然后一次性拋出所有問(wèn)題。你的第一個(gè)任務(wù)是想出一個(gè)問(wèn)題，確定誰(shuí)一定不是任性之神，或者誰(shuí)只能是真之神或偽之神。這樣你就可以通過(guò)排除法確定誰(shuí)是任性之神，一旦確定了任性之神的身份，剩下的問(wèn)題就迎刃而解了。

為了更好地理解這種方法，Boolos 給了我們?nèi)齻€(gè)簡(jiǎn)化版例子。

簡(jiǎn)化版 I

這個(gè)例子其實(shí)就是 Smullyan《這本書(shū)的書(shū)名是什么？》中經(jīng)典的“騎士和流氓問(wèn)題”：騎士只說(shuō)真話，流氓只說(shuō)假話，如何只提一個(gè)是非問(wèn)題，根據(jù)他們的回答確定兩人身份？

在解決這個(gè)問(wèn)題之前，不妨設(shè)想這樣的場(chǎng)景：假設(shè)你不清楚冥王星是不是矮行星，決定向周圍的人咨詢，但又不知道對(duì)方到底是騎士還是流氓，要怎樣問(wèn)才能確定冥王星是否為矮行星呢？

Boolo 解釋說(shuō)，你得下個(gè)套向他們套出你想要的答案。這個(gè)套路就是用“當(dāng)且僅當(dāng)”的雙重條件提問(wèn)。當(dāng)你用當(dāng)且僅當(dāng)“把兩個(gè)同真或同假的句子聯(lián)系在一起，這句話一定是真的；但是如果這兩個(gè)句子一真一假，這就是句假話。”“當(dāng)且僅當(dāng)”就像乘號(hào)一樣，同正或同負(fù)的兩數(shù)相乘總得到正的結(jié)果，而在兩句同真或同假的情況下你得到的答案永遠(yuǎn)是真的。

現(xiàn)在這個(gè)情景下就是：“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時(shí)，你是騎士嗎？”

（譯者注：不習(xí)慣使用“當(dāng)且僅當(dāng)”的同學(xué)，可以這樣理解：冥王星是矮行星，你是騎士，這兩個(gè)命題的真假相同嗎？）

聽(tīng)你提問(wèn)的人要么是騎士、要么是流氓，得到的回答共有四種可能：

如果這個(gè)人是騎士，冥王星是矮行星，那么答復(fù)是“是”；因?yàn)椤爱?dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)系的兩句話都是真的，而騎士總是說(shuō)真話。

如果這個(gè)人是騎士，冥王星不是矮行星，那么答復(fù)是“否”；因?yàn)閱?wèn)題中包含一句錯(cuò)話。

如果這個(gè)人是流氓，冥王星是矮行星，那么答復(fù)是“是”；因?yàn)榱髅タ傉f(shuō)謊，正確的答案應(yīng)該是“否”。

如果這個(gè)人是流氓，冥王星不是矮行星，那么答復(fù)是“否”，因?yàn)檎_的答案是“是”。

看看我們得到了什么結(jié)果：使用雙重條件句提問(wèn)，就一定能得到我們想要的信息。如果冥王星是矮行星，得到的回答就是“是”，否則就是“否” 。

但是要注意，“史上最難邏輯謎題”與“騎士和流氓”有所不同——你聽(tīng)不懂他們的答復(fù)。

簡(jiǎn)化版 II

在這個(gè)例子里，你知道自己在詢問(wèn)只說(shuō)真話的騎士，但是他只能用“噠”或“呀”回復(fù)你。這種情況下，你要通過(guò)怎樣一個(gè)是非問(wèn)題判斷出冥王星是否為矮行星呢？

參照上一題的思路，問(wèn)騎士“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時(shí)，‘噠’是‘是’的意思嗎？”正是這樣！即便我們不知道這兩個(gè)詞的含義，但如果冥王星是矮行星的話，你一定會(huì)得到“噠”的答復(fù)；如果不是則回復(fù)為“呀”。上一個(gè)例子中，我們不必弄清這個(gè)人到底是騎士還是流氓；而在這個(gè)例子中，我們也不需要弄清“噠”和“呀”的含義。

按照 Boolos 的說(shuō)法，“史上最難邏輯題”就是前兩個(gè)簡(jiǎn)化版問(wèn)題和第三個(gè)問(wèn)題的組合。在解決它之前，我們先整合一下前兩個(gè)問(wèn)題：

為了判斷冥王星是否為矮行星，面對(duì)一個(gè)不知是騎士還是流氓的人，而且他只會(huì)回答“噠”或“呀”，你會(huì)怎樣提問(wèn)呢？如果你想的是，既然這是個(gè)復(fù)合問(wèn)題，我們不妨用復(fù)合的提問(wèn)方式，那你就想對(duì)了?！爱?dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時(shí)你是騎士，當(dāng)且僅當(dāng)前一句為真時(shí)，‘噠’的含義是‘是’嗎？”這樣，不論你問(wèn)的是騎士還是流氓，如果冥王星是矮行星，你得到的答復(fù)就是“噠”；如果不是，則為“呀”。這種構(gòu)思巧妙的問(wèn)題是解開(kāi)謎題的鑰匙。

每個(gè)問(wèn)題的真假都是確定的，不存在模棱兩可的情況。

簡(jiǎn)化版 III

我把三張牌倒扣放在你面前，三張牌背面一樣但正面分別是兩紅一黑，你不清楚它們的順序，但是我知道。你要指著其中一張牌，問(wèn)我一個(gè)是非問(wèn)題以確定其中的一張紅色牌。如果你指到紅牌的話，我就會(huì)像騎士一樣說(shuō)真話；如果指到黑牌，我就會(huì)效仿任性之神，可能說(shuō)真話也可能說(shuō)假話。那么你會(huì)指哪里，問(wèn)什么問(wèn)題呢？

這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)似乎更復(fù)雜，但事實(shí)上完全不是。你只需要隨意指一張牌問(wèn)剩下的兩張牌中的一張是否為紅色。例如你指向中間的牌，然后問(wèn)它左側(cè)那張是否為紅色。不論中間的牌是不是紅色，如果我告訴你“是”的話你選左邊，“否”的話選右邊，你選的牌都一定是紅色的。為什么呢？如果中間是張紅牌，那么我回答“是”就說(shuō)明它左邊也是紅牌；如果回答“否”，則說(shuō)明右邊是紅牌。如果中間是張黑牌，那么“是”或“否”都沒(méi)有關(guān)系，因?yàn)榇藭r(shí)它的左右都是紅牌。所以，不論你指的是不是紅牌，只要你要猜的牌不是你所指的牌，你所得到的“是”或“否”，都能幫你確定另一張紅牌。

這種指著一張牌問(wèn)另一張牌的策略也可以用在“史上最難邏輯謎題”中，找出那個(gè)回答或真或假的神 。 指向一張牌本身也是你提問(wèn)的一部分，換成文字來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于用指出某位是任性之神的斷言，代替了上個(gè)復(fù)合問(wèn)題中“冥王星是不是矮行星”的事實(shí)提問(wèn)。這和決定指向哪張牌其實(shí)是一樣的。誰(shuí)是任性之神的答案取決于向誰(shuí)提問(wèn)，但是這并不重要，向三位神中的任何一位提問(wèn)都能得到答案。

破解最難題

我們可以向甲神詢問(wèn)乙神是不是任性之神：“當(dāng)且僅當(dāng)乙是任性之神時(shí)你是真之神，當(dāng)且僅當(dāng)前一句為真時(shí)‘噠’才可以理解成‘是’嗎？”你同樣也可以指著乙神而問(wèn)甲神的身份。在第三個(gè)例子里，不管回答如實(shí)還是隨機(jī)，你都可以根據(jù)“是”或者“非”來(lái)確定一張紅色的牌。在這里也一樣，不論甲的身份如何，如果你得到的答案是“噠”，那么丙就是真之神或偽之神中的一個(gè)；如果答案是“呀”，那么乙就是真之神和偽之神中的一個(gè)。

假設(shè)答案是“呀”（回答必居其一），那么乙就排除了是任性之神的可能，這正是我們想要的結(jié)果，因?yàn)槲覀冎涝趺创_定這種情況下對(duì)方的身份，于是我們問(wèn)他第二個(gè)問(wèn)題：“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時(shí)，‘噠’才意味著‘是’嗎？”，因?yàn)槲覀冎磊ね跣鞘前行牵敲匆业膬煞N回答就有：

1、如果乙是真之神，那么答案就是“噠”。

2、如果乙是偽之神，那么答案就是“呀”，因?yàn)檎_的答案是“噠”，而他總是講假話。

假設(shè)答案是“噠”，那么乙就是真之神。此時(shí)我們向他詢問(wèn)最后一個(gè)問(wèn)題，“當(dāng)且僅當(dāng)甲是任性之神時(shí)，‘噠’的意思才是‘是’嗎？”考慮到任性之神只可能是甲或丙中的一個(gè)，那么：

1、如果回答是“噠”，即可說(shuō)明甲是任性之神，于是丙就是偽之神。

2、如果 回答是“呀”，即可說(shuō)明丙是任性之神，于是甲就是偽之神。

讓我們回過(guò)頭來(lái)總結(jié)下 Boolos 的邏輯，我們判斷真、偽、任性之神的三個(gè)問(wèn)題是這樣的：

1、向甲神提問(wèn)：“當(dāng)且僅當(dāng)乙是任性之神時(shí)你是真之神，當(dāng)且僅當(dāng)上一句為真時(shí)‘da’的意思才是‘是’嗎？”（假設(shè)甲回答“呀”，那么乙就是真之神或偽之神。）

2、向乙提問(wèn)：“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時(shí)，“噠”才意味著‘是’嗎？”（假設(shè)乙回答“噠”，那么乙就是真之神。）

3、繼續(xù)追問(wèn)乙（真之神）：“當(dāng)且僅當(dāng)甲是任性之神時(shí)，‘噠’才意味著‘是’嗎？”由于乙是真之神，他如果回答“噠”就意味著甲是任性之神，丙是偽之神。

問(wèn)題解決！

所以“史上最難邏輯謎題”教會(huì)了我們什么呢？按照Boolos的說(shuō)法，它告訴我們邏輯學(xué)基本方法里“排中律”的重要性。排中律的基本思想非常簡(jiǎn)單：每句話或者是真的、或者是假的，但不可能處于中間情況。Boolos說(shuō)：“如果否認(rèn)排中律的作用，那么在日常生活中，我們恐怕會(huì)完全喪失在多種可能中做判斷的能力?！边@是條讓人清醒的思想。我們必須感謝Smullyan的謎題，讓我們?cè)谟鋹偟乃伎贾袑W(xué)到了這一課。

原文鏈接 ： http://nautil.us/issue/30/identity/how-to-solve-the-hardest-logic-puzzle-ever

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編輯：Alex Yuan